Đại số 8 Trần Sĩ Tùng II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 3y 6 xy −3 x 2 3 x 2 = ( x ≠ 0) a) b) = ( y ≠ 0) 4 8x 2y −2 y c) 2( x − y ) −2 = ( x ≠ y) 3( y − x ) 3 1− x x −1 2a −2a 2 xy 8 xy 2 = ( y ≠ 2) = (b ≠ 0) e) f) = (a ≠ 0, y ≠ 0) 2−y y−2 −5b 5b 3a 12ay Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 3x −3 x(x − y ) x −2 23 − x 3 = ( x ≠ ± y) = ( x ≠ 0) a) b) 2 x+y −x y2 − x 2 x ( x + 2 x + 4) d) c) Bài 3. a) Bài 4. a) Bài 5. a) x + y 3a( x + y)2 = (a ≠ 0, x ≠ − y ) 3a 9 a2 ( x + y ) Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: x −2 1 và 2 x −3 x − 5x + 6 Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x ∈ N ii) x ∈ Z iii) x ∈ Q (2 x + 1)( x − 2) x−2 A= , B= 3(2 x + 1) 3 Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x ∈ N ii) x ∈ Z iii) x ∈ Q ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)(3 x − 2) x +1 A= , B= ,C= 5( x + 2) 5(3 x − 2) 5 VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: 5x a) 10 2x + 2y 4 Bài 2. Rút gọn các phân thức sau: d) a) d) g) x 2 − 16 4x − x 2 ( x ≠ 0, x ≠ 4) 5( x − y) − 3( y − x ) ( x ≠ y) 10( x − y ) 2ax 2 − 4ax + 2a 5b − 5bx 2 b) e) 5 x − 5y ( x ≠ y) 3 x − 3y c) x2 + 4x + 3 b) ( x ≠ −3) 2x + 6 e) (b ≠ 0, x ≠ ±1) ( x + y )2 − z2 i) ( x + y + z ≠ 0) x+y+z 21x 2 y3 ( xy ≠ 0) 6 xy −15 x ( x − y ) ( x ≠ y) f) 3( y − x ) 4 xy ( y ≠ 0) 2y c) 15 x ( x + y )3 5y( x + y )2 ( y + ( x + y ) ≠ 0) 2 x + 2 y + 5 x + 5y x 2 − xy ( x ≠ − y ) f) ( x ≠ y, y ≠ 0) 2 x + 2 y − 5 x − 5y 3 xy − 3y 2 h) k) Trang 12 4 x 2 − 4 xy 5x 3 − 5x 2 y ( x ≠ 0, x ≠ y ) x 6 + 2 x 3 y3 + y 6 x 7 − xy 6 ( x ≠ 0, x ≠ ± y ) Trần Sĩ Tùng Đại số 8 Bài 3. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: a) A = (2 x 2 + 2 x )( x − 2)2 với x = ( x 3 − 4 x )( x + 1) Bài 4. Rút gọn các phân thức sau: (a + b)2 − c 2 a+b+c Bài 5. Rút gọn các phân thức sau: a) a) c) e) b) a3 + b3 + c3 − 3abc a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca x 3 + y 3 + z3 − 3 xyz ( x − y )2 + ( y − z)2 + ( z − x )2 a2 (b − c) + b2 (c − a) + c2 (a − b) 1 2 b) B = a2 + b2 − c2 + 2ab a2 − b2 + c2 + 2ac x 3 + y3 c) với x = −5, y = 10 2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45 3 x 3 − 19 x 2 + 33 x − 9 x 3 − y 3 + z3 + 3xyz b) ( x + y)2 + ( y + z)2 + ( z − x )2 a2 (b − c) + b2 (c − a) + c2 (a − b) d) f) x 3 − x 2 y + xy 2 a 4 ( b 2 − c 2 ) + b 4 (c 2 − a 2 ) + c 4 ( a 2 − b 2 ) x 24 + x 20 + x16 + ... + x 4 + 1 ab2 − ac2 − b3 + bc2 x 26 + x 24 + x 22 + ... + x 2 + 1 Bài 6. Tìm giá trị của biến x để: 1 1 a) P = 2 đạt giá trị lớn nhất ĐS: max P = khi x = −1 5 x + 2x + 6 2 3 x + x +1 b) Q = đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: min Q = khi x = 1 2 4 x + 2x + 1 Bài 7. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y: a) ( x 2 + a)(1 + a) + a2 x 2 + 1 ( x 2 − a)(1 − a) + a2 x 2 + 1 b)  3 xy − 3 x + 2 y − 2 9 x 2 − 1  1 −  x ≠ , y ≠ 1÷ y −1 3x − 1  3  ax 2 − a axy + ax − ay − a ( x + a)2 − x 2 − ( x ≠ −1, y ≠ −1) d) x +1 y +1 2x + a 2 2 2ax − 2 x − 3y + 3ay x −y e) f) 4ax + 6 x + 9 y + 6ay ( x + y)(ay − ax ) c) Trang 13 Đại số 8 Trần Sĩ Tùng III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức Bài 1. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: 1 3 x xy xy y , , , a) b) c) 4 x 6y 16 20 8 15 x y xy yz zx xy yz xz , , , , , d) e) f) 2y 2 x 2z 3x 4 y 8 12 24 Bài 2. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: z 2a y 5 4 7 x y x a) , , b) , , c) 2 , , 2 2 2 x − 4 3 x − 9 50 − 25 x 4 + 2a 4 − 2a 4 − a b 2a + 2b a − b 2 x −2 1 2 3 x4 + 1 2 d) , e) 2 , f) , x +1 2x + 6 x2 + 6x + 9 x − 2x + 1 x2 + 2x x2 − 1 Bài 3. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau: x x+2 1 1 1 1 a) , 2 , b) , 2 , 2 2 2 2 x + 7 x − 15 x + 3 x − 10 x + 5 − x + 3x − 2 x + 5x − 6 − x + 4 x − 3 x y z 3 2x x c) 3 , 2 , d) 2 , 2 , 2 x − 2 xy + y 2 − z2 x + 2 yz − y 2 − z2 x − 2 xz − y 2 + z2 x −1 x + x + 1 x −1 VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phân thức Bài 1. Thực hiện phép tính: x − 5 1− x + a) 5 5 5 xy 2 − x 2 y 4 xy 2 + x 2 y d) + 3 xy 3 xy b) x − y 2y + 8 8 e) x + 1 x −1 x + 3 + + a−b a−b a−b x2 − x 1 − 4x + xy xy 5 xy − 4 y 3 xy + 4 y + f) 2 x2 y3 2x2 y3 c) 2 x 2 − xy xy + y 2 2 y 2 − x 2 + + x−y y−x x−y Bài 2. Thực hiện phép tính: 2x + 4 2 − x 3x 2 x − 1 2 − x + + + a) b) 10 15 10 15 20 g) d) 1 − 2x 2x 1 + + 2x 2x − 1 2x − 4x 2 e) x 2 + 2x − y 2 x +1 x2 + 3 c) + 2 x − 2 2 − 2 x2 f) x2 + 6 1 + 6 − 3x x + 2 xy − y xy − x x − 4x 2 2 1 −3 x 2 x − 10 xy 5y − x x + 2 y x 2 + y2 + + g) h) i) x + y + + + x + y x − y x 2 − y2 2 xy y x x+y Bài 3. Thực hiện phép tính: 1 3 xy x−y 2x y 4 + + + + 2 a) 2 b) 2 2 x − y y 3 − x 3 x 2 + xy + y 2 x + 2 xy xy − 2 y x − 4y 2x + y 16 x 2x − y 1 1 2 4 8 16 + + + + + + + c) d) 1 − x 1 + x 1 + x 2 1 + x 4 1 + x 8 1 + x16 2 x 2 − xy y 2 − 4 x 2 2 x 2 + xy Trang 14 2 Trần Sĩ Tùng Đại số 8 Bài 4. Thực hiện phép tính: 1 − 3x x + 3 − a) 2 2 xy x2 − 1 d) − 2x − y y − 2x Bài 5. Thực hiện phép tính: 4 x + 1 3x + 2 − a) 2 3 1 4 −10 x + 8 − − d) 3x − 2 3x + 2 9 x 2 − 4 g) 4a2 − 3a + 5 − 1 − 2a 2( x + y )( x − y ) −2 y 2 − x x 4 x −1 7 x −1 − 2 e) 3x 2 y 3x y b) x +3 x 9 − + 2 x x − 3 x − 3x 3 2x −1 2 + − e) 2x2 + 2x x2 − 1 x 5x 2 − y 2 3x − 2 y h) − xy y b) 6 a2 + a + 1 a − 1 − 3x + 1 2 x − 3 − x+y x+y c) c) x +3 2 − 1 2 x −1 x + x 3x x − f) 5 x + 5y 10 x − 10 y i) a3 − 1 x + 9y 3y − 2 2 2 x − 9y x + 3 xy 3x + 2 6 3x − 2 3 x −6 x4 + 1 − 2 − 2 − 2 k) 2 l) m) x 2 + 1 − 2 2x +6 2x +6 x x − 2x + 1 x − 1 x + 2x + 1 x +1 5 10 15 − − n) 2 3 a + 1 a − (a + 1) a + 1 Bài 6. Thực hiện phép tính: 1 6x 15 x 2 y 2 2x2 2 . . a) b) c) .3 xy x y 7 y3 x2 y d) g) 2x2 y . x − y 5x3 x 2 − 9 y2 x 2 y2 . e) 3 xy 2 x − 6y 2 a3 − 2 b 3 6a + 6b . 3a + 3b a2 − 2ab + b2 Bài 7. Thực hiện phép tính: 2x 5 : a) 3 6x2 d) x 2 − y2 x + y : 3 xy 6x2y 5 x + 10 4 − 2 x . 4x − 8 x + 2 h) 3 x 2 − 3y 2 15 x 2 y . 5 xy 2y − 2 x f) x 2 − 36 3 . 2 x + 10 6 − x i)  18 x 2 y 5  b) 16 x 2 y 2 :  − ÷ 5   c) 25 x 3 y 5 :15 xy 2 3 a2 + ab a+b : b − a 2 a 2 − 2 b2 f) x + y x 2 + xy : y − x 3 x 2 − 3y 2 e) 1 − 4x2 2 − 4 x 5 x − 15 x 2 −9 6 x + 48 x 2 − 64 h) i) : : 2 : 2 x 2 + 4 x 3x 4x + 4 x + 2x + 1 7x − 7 x − 2x + 1 2 2 3 − 3x 6 x 2 − 6 4 x − 24 x − 36 3 x + 21 x − 49 : k) l) m) : : x +1 (1 + x) 2 5x + 5 x 2 + 2 x + 1 5x + 5 x 2 + 2 x + 1 Bài 8. Thực hiện phép tính: 2− x 1 2 x  6 x 2 + 10 x  1   3x − :  + x − 2÷ + a)  2 b)  : ÷ 2  x + x x +1   x   1 − 3x 3 x + 1  1 − 6 x + 9 x 1   x−3 x  x +1  x + 2 x + 3   9 + − : : : 2  c)  3 d) ÷ x + 2  x + 3 x +1   x − 9 x x + 3   x + 3 x 3x + 9  Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau: g) Trang 15 Đại số 8 Trần Sĩ Tùng 1 1 + x y a) 1 1 − x y x x −1 − x b) x + 1 x x +1 − x −1 x c) 1− x 1− x x +1 2 x +1 x2 − 2 x y a−x x + + y x a−x d) e) f) a x−y x+y a+ x x + − 1− 2 x+y x−y a a+ x x −1 Bài 10.Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: 1− a) x3 − x2 + 2 x −1 b) x3 − 2 x2 + 4 x−2 c) 2 x3 + x 2 + 2 x + 2 2x + 1 x 4 − 16 3 x 3 − 7 x 2 + 11x − 1 e) 3x − 1 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 − 16 x + 16 Bài 11. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc nhất: 2x − 1 x2 + 2x + 6 3 x 2 + 3 x + 12 a) 2 b) c) ( x − 1)( x − 2)( x − 4) ( x − 1)( x + 2) x x − 5x + 6 Bài 12. * Tìm các số A, B, C để có: d) a) x2 − x + 2 3 = A 3 + B 2 + C x −1 b) x2 + 2x − 1 2 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) Bài 13. * Tính các tổng: a b c + + a) A = (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) = A Bx + C + x − 1 x2 + 1 a2 b2 c2 + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) Bài 14. * Tính các tổng: 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = − a) A = HD: 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) k (k + 1) k k + 1 1 1 1 1 1 11 1  1 + + + ... + =  + b) B = HD: ÷− 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2) k (k + 1)(k + 2) 2  k k + 2  k + 1 Bài 15. * Chứng minh rằng với mọi m ∈ N , ta có: 4 1 1 = + a) 4m + 2 m + 1 (m + 1)(2m + 1) 4 1 1 1 = + + b) 4m + 3 m + 2 (m + 1)(m + 2) (m + 1)(4m + 3) 4 1 1 1 = + + c) 8m + 5 2(m + 1) 2(m + 1)(3m + 2) 2(3m + 2)(8m + 5) 4 1 1 1 = + + d) 3m + 2 m + 1 3m + 2 (m + 1)(3m + 2) b) B = Trang 16