Do lim f ( x)  f (0) nên f(x) liên tục tại x = 0. x  xo 1.2.2. Hàm số liên tục một phía tại một điểm a. Định nghĩa  Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái tại xo nếu lim f ( x)  f ( xo ) . x  xo   Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái phải xo nếu lim f ( x)  f ( xo ) . x  xo  b. Ví dụ e x , Cho hàm số: f ( x)   khi x  0  x  a, khi x  0 Tìm a để f(x) liên tục tại x0  0 . Giải Ta có: f (0)  a và x lim f ( x)  lim e  1 x  xo  x 0 lim f ( x)  lim x  a  a x  xo  x 0 Ta thấy hàm số liên tục phải tại x0  0 . Để f(x) liên tục trái tại x0  0 thì a = 1. Vậy với a = 1 thì f(x) liên tục tại x0  0 . 1.2.3. Hàm số liên tục trong một khoảng, đoạn a. Định nghĩa  f(x) liên tục trên khoảng (a,b)  f(x) liên tục tại mọi x  (a,b) f(x) liên tục trên khoảng (a,b) f(x) liên tục bên phải tại a  f(x) liên tục trên đoạn [a,b]  f(x) liên tục bên trái tại b b. Định lý. Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong những khoảng mà hàm số đó xác định Ví dụ  ex 1 ,  a. Cho hàm số: f ( x)   ln(1  x 2 ) 0,  3 khi x  0 khi x  0 Xét tính liên tục của f(x) trên R. Giải 3 ex 1  Với x  0 , f ( x)  liên tục vì là hàm sơ cấp. ln(1  x 2 )  Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x  0 12 Ta có: f (0)  0 và 3 ex 1 x3 lim f ( x)  lim  lim 2  0  f (0) x  xo x 0 ln(1  x 2 ) x 0 x Do đó hàm số liên tục tại x0  0 . Vậy f(x) liên tục trên R.  3 2x  4  2 ,  b. Cho hàm số: f ( x)   x 2  4 ax 2 +1,  khi x  2 khi x  2 Tìm a để f(x) liên tục trên R. Giải  Với x  2 , f ( x)  3 2x  4  2 liên tục vì là hàm sơ cấp. x2  4  Với x  2 , f ( x)  ax 2  1 liên tục vì là hàm sơ cấp.  Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x  2 Ta có: f (2)  4a  1 và lim f ( x)  lim x  xo  lim x 2 x2 3 2x  4  2 2x  4  lim 2  x 2 x 4 ( x  2)( x  2)( 3 (2 x  4) 2  2 3 2 x  4  4) 2 ( x  2)( 3 (2 x  4)  2 3 2 x  4  4) 2  1 24 lim f ( x)  lim ax 2  1  4a  1 x  x0 x2 Ta thấy hàm số liên tục trái tại x = 2. Để hàm số liên tục phải tại x = 2 thì 1 3 a . 4 16 3 Vậy với a   thì f(x) liên tục tại x = 2, hay f(x) liên tục trên R. 16 4a  1  1.2.4. Điểm gián đoạn  Định nghĩa. xo gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên tục tại xo.  Phân Loại . Loại 1 : lim f ( x) và lim f ( x) tồn tại hữu hạn  x  x0  x  x1 Loại 2 : Có ít nhất một giới hạn một bên không tồn tại hữu hạn. 1 Ví Dụ Hàm số y  e x gián đoạn tại x = 0. Ngoài ra, lim f ( x)   và lim f ( x)  0 nên x x  0 = 0 là điểm gián đoạn loại II của hàm số. 13 x  0 Ý nghĩa hình học Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đồ thị của nó là một đường liền nối từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b)) B O A 1.2.5. Định Lý Nếu f(x) và g(x) liên tục tại xo thì các hàm f(x)  g(x) , f(x).g(x), f ( x) g ( x) (g(x)0) cũng liên tục tại xo. a) Nếu f(x) liên tục tại xo và g(y) liên tục tại yo= f(xo) thì hàm số hợp g[f(x)] liên tục tại xo. Một số kết quả : a) Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao liên tục trên R b) Hàm hữu tỉ f(x) = P( x) liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x). Q( x) c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định. d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó. 1.2.6. Tính chất của hàm số liên tục a. Định Lý. (giá trị trung gian) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b)