www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com ------------------ Hết ------------------Họ và tên thí sinh:……………………………………..Số báo danh:………… SỞ GD&ĐT Phú Thọ Trường THPT Việt Trì KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2013-2014 LẦN I ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN - KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đáp án gồm: 05 trang I. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi. II. Đáp án – thang điểm Câu Nội dung trình bày I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu 1 Cho hàm số y = x4 -2mx2 + m+1 (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 m =2 ta được hàm số : y = x4 -4x2 + 3. TXĐ : D= R Sự biến thiên : Thang điểm 7,0 điểm 1,0 điểm 0,25 lim y = +∞ ; x − > ±∞ y’ = 4x3 - 8x = 4x(x2-2); y’= 0 x=0, x= ± 2 bbt - + - ( ) 0,25 + Hàm số đồng biến mọi x ∈ − 2 ;0 , ( 2 ;+∞) Hàm số nghịch biến mọi x ∈ − ∞;− 2 , (0; 2 ) Hàm số đạt cực đại tại xcđ=0 ; ycđ = 3 Hàm số đạt cực tiểu tại xct= ± 2 , yct= -1 Đồ thị Giao Oy (0; 3), Giao Ox (1;0), (-1; 0), ( 3 ;0), (− 3;0) ( ) www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 2 www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com y f(x)=x^4 - 4*x^2 +3 0,25 8 6 4 2 x -2 2 4 6 8 -2 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác sao cho trục Ox chia tam giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau 1,0 điểm x = 0 y’=4x3 -4mx =4x(x2 -m) ; y’ =0 ⇔  2 x = m để hàm số (1) có 3 cực trị thì y’ =0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 g/ sử tọa độ 3 điểm cực trị là A(0; m + 1), B(− m ;−m 2 + m + 1), C ( m ;− m 2 + m + 1) gọi H( 0; − m 2 + m + 1 ) là trung điểm của BC, trục ox cắt AB và AC tại M và N theo bài ra ta phải có m +1 S ∆AMN 1 AO 1 1 = ⇒ = ⇔ = ⇒ m 2 − 2 (m + 1) = 0 (vì ta xét m>0) 2 S ∆ABC 2 AH m 2 2 ⇔m= 2 ± 2+4 2 kết hợp điều kiện suy ra m cần tìm 2 ⇔m= 0,25 0,25 0,25 2 + 2+4 2 2 Giải phương trình lượng giác sau : tan x = sin 2 x − 2 cot 2 x Câu 2 Điều kiện sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈Z 2 sin x cos 2 x cos 2 x + = sin 2 x − cos x sin 2 x sin 2 x 2 cos 2 x.sin x + sin 2 x. sin x sin 2 x − cos 2 x ⇔ = ⇔ 1 = sin 2 2 x − cos 2 x cos x. sin 2 x sin 2 x π π kπ ⇔ cos 2 2 x + cos 2 x = 0 ⇒ cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z (t / m) 2 4 2  x+ y =4  Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R :   x+5 + y +5 =6  0,25 1,0 điểm 0,5 pt tan x + cot 2 x = sin 2 x − cot 2 x ⇔ Câu 3 Điều kiện x ≥ 0 , y ≥ 0 Hệ pt ( ( 0,25 1,0 điểm 0,25  x + 5 + x + y + 5 + y = 10  x + 5 + x + y + 5 + y =10   ⇔ 5 5   x+5 − x + y+5 − y = 2  x+5 + x + y+5 + y = 2   ) ( )( 0,25 )  x + 5 + x + y + 5 + y = 10  x+5 + x = 5 x = 4   ⇔ .......   y+5 + y =5  x + 5 + x y + 5 + y = 25 y = 4   ) www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 0,25 3 www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com Câu 4 ( ) x x Giải phương trình sau : 5.(3 + 2 ) x + 2. 3 − 2 = 7 2 x x 1,0 điểm 0,25 +1 x  3+ 2   3− 2   3+ 2  2  + 2  = 7 ⇔ 5  + pt ⇔ 5 =7 x       7  7  7  3+ 2        7    2x x  3+ 2  3+ 2   − 7  +2 =0 ⇔ 5   7  7      0,25 x  3 + 2  x   3 + 2  x  − 1   ⇔     7  7        3+ 2    −1 = 0    7    2 − =0 ⇔ x    5    3 + 2  − 2  = 0    5  7     0,25 x = 0 x = 0 2   2 ⇔ x = log3+ 2 5 ⇔  x = log 3+ 2 5   7  7  Câu 5 0,25 Cho lăng trụ đứngABC.A’B’C’ .Đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, BC =2a, AA’ =4a (a>0). Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C . 1,0 điểm C A Goi E là trung điểm của BB’ d(AM,B’C) = d(B’C;(AME))= B M =d(B;(AME)) = h 0,5 1 1 1 1 = + + = 2 2 2 h AM BM BE 2 1 1 1 9 = 2+ 2+ 2 = 2 a a 4a 4a 0,25 E 2a h= Vậy khoảng cách cần tính là 3 C'' A'' B'' 2a 3 a > 0, b > 0, c > 0 Cho biết  a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của S = a + b + b + c + c + a d(AM;B’C)= h = Câu 6 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương (a+b) và 4/3 3 a+b = 2 (a + b ) 4 ≤ 3 3 2 4 3 = 3  a + b + 4  tương tự ta có   2 4  3 0,25 1,0 điểm 0,25 a+b+ www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 4 www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com b+c ≤ a+c ⇒S ≤ ≤ 3 4 b + c +  4  3 3 4 a + c +  4  3 Cộng vế với vế ta được 3 (2a + 2b + 2c + 4) = 3 .8 = 2 3 4 4 Vậy 0,25 max S = 2 3 dấu “=” xảy ra a=b=c= 2 3 II. PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 0,25 3,0 điểm 1,0 điểm 0,25 gọi đường thẳng (AB) có vtpt n = (a; b) , a 2 + b 2 ≠ 0 Câu 7.a PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng (d): y = x+10, tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (C): x2 + y2 -2x +4y +1 =0 .Viết phương trình đường thẳng (AB) và tìm tọa độ điểm C biết đường thẳng (AB) tạo với (d) một góc bằng 450 Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) , R=2 (d) : x-y +10 =0 có vtpt nd = (1;−1) 0,25 n.nd 1 vì góc(d; (AB)) =45 ⇒ cos(nd ; n) = = 2 2 2 2. a + b ( AB ) y = −1 ⇒ C (1;−4 ) ( AB ) y = −3 ⇒ C (1;0 ) a = 0 2 2 ...... ⇒  ⇒ a − b = a + b ....... ⇒  ( AB) x = 0 ⇒ C (3;−2 ) b=0   ( AB) x = 2 ⇒ C (− 1;−2 ) 0 Câu 8.a Câu 9.a Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng (d) : x-y +23 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm A thuộc trục Ox, điểm B thuộc trục oy và đường thẳng qua AB vuông góc với đường thẳng (d) và diện tích hình vuông ABCD bằng 8 . Vì AB vuông góc với (d) nên p (AB) có dạng y= - x+c (∆) (∆) ∩ ox = A(c; 0)), (∆ ) ∩ oy = B(0; c ) vì ABCD là hv có diện tích bằng 8 nên ta có phương trình .AB2= 2c2 =8 ==>c2 =4 ⇒ c = ±2 Vậy 4 đỉnh của hình vuông lần lượt có tọa độ là : A(2;0), B(0; 2), C(2; 4) , D( 4; 2) hoặc A(2;0), B(0; 2), C(-2; 0) , D( 0; -2) A(-2;0), B(0;-2), C(2; 0) , D( 0; 2) hoặc A(-2;0), B(0;-2),C(-2; -4), D(- 4;-2) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau ? ( n ∈ N và 1 < n ≤ 5 ). Với n=2 .Số các số có 2 chữ số khác nhau phải tìm là : A62 3 Với n=3 .Số các số có 3 chữ số khác nhau phải tìm là : A6 Với n=4 .Số các số có 4 chữ số khác nhau phải tìm là : A64 5 Với n=5 .Số các số có 5 chữ số khác nhau phải tìm là : A6 3 5 Vậy tất cả có số A62 + A6 + A64 + A6 = 1230 số phải tìm PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 5 www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com Câu 7.b Trong hệ trục Oxy cho viết phương trình chính tắc của Elip (E) biết hai đỉnh của (E) thuộc trục Oy cùng với hai tiêu điểm của (E) tạo thành lập thành một hình vuông có diện tích bằng 32. Giả sử (E) có phương trình dạng chính tắc : 1,0 điểm x2 y2 + = 1 ( E ) .Tọa độ các đỉnh và a 2 b2 tiêu điểm của (E): A1(a;0) ; A2 (-a; 0) ; B1(0; b); B2(0;-b) F1(-c;0), F2(c;0). Với a,b,c> 0, a>b, a> c; a2 =b2 + c2 B1F1B2F2 là hình vuông có diện tích =32 nên ta có 0,25 2b.2c B1 B2 .F1 F2 = 32 ⇔ = 32 ⇔ bc = 16 2 2 0,25 Do B1F1B2F2 là hình vuông nên ta có OF1= OF2 suy ra b=c Kết hợp ta được b= c =4 ⇒ a = 4 2 2 vậy ptct của (E) cần tìm là : 0,25 0,25 2 x y + = 1 (E) 32 16 1,0 điểm TH1 : giả sử đường thẳng cần tìm có dạng x= c dẽ thấy không thỏa mãn vì không thể tạo với (d) góc 450 Câu 8.b Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng (d) :2y - x = 0 và điểm M(1; 4). Lập phương trình đường thẳng tạo với đường thẳng (d) góc bằng 450 và cách điểm M (1; 4) một khoảng bằng 20 . 0,25 TH2: vậy đt cần tìm có dạng (∆ ) :y= ax+b theo ycbt ta phải có góc ((∆ ); (d )) = 45 0 ⇒ cos((∆ ); (d ) = cos 45 0 ⇔ 0,25 0,25 ax - y + b =0 a+2 5 a +1 2 = 1 2 a = 3 …. 3a − 8a − 3 = 0 ⇔  a = − 1 3  2 Với a=3 thì (∆ ) : 3 x − y + b = 0 ⇒ d (M ; (∆ )) = 20 ⇔ 3− 4+b 10 = 20 0,25 ⇒ b = 1 ± 10 2 ⇒ ptđt (∆) : 3 x − y + 1 ± 10 2 = 0 13 ± 10 2 =0 3 A2 A 2013 + 2013 + ... + 2013 2! 2013 ! 1 3 tương tự với a = -1/3 ta có hai pt đường thẳng : − x − y ± Câu 9.b Tính tổng sau đây : S = Ta có 0! =1, S =C 0 2013 +C k Cn = 1 2013 0 A 2013 A1 + 2013 0! 1! k An k! + ... + C 2013 2013 = (1 + 1) 2013 =2 2013 1,0 điểm 0,25 0,75 ------------ Hết ------------www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 6